Optiebeurzen zijn nog gebruikelijker geworden als een vorm van compensatie, gezien de toename van startups in de technologie- en life-sciencesruimten. Hun prijsstelling wordt echter algemeen verkeerd begrepen en veel werknemers zien opties als een verwarrend ticket naar toekomstige rijkdom.
Er zijn consequenties verbonden aan het niet vaststellen van de prijs van opties op of in de buurt van de reële marktwaarde (FMV) op het moment van toekenning, zoals IRC 409A in de Verenigde Staten dat een strafrechtelijk belastingtarief oplegt op opties die onder FMV worden toegekend.
In het licht hiervan heb ik dit artikel geschreven om de basisprincipes van optieprijzen te behandelen, om het zo breed mogelijk bruikbaar te maken, het is niet gebonden aan een specifieke belastingcode of jurisdictie. De besproken principes zijn voornamelijk van toepassing op verhandelde opties op beursgenoteerde aandelen, maar veel van de heuristieken kunnen worden toegepast op niet-verhandelde opties of opties op niet-verhandelde aandelen.
Opties, in de vorm van calls en puts, verlenen een koper een recht, maar geen verplichting. Als gevolg hiervan kunnen gewone vanille-opties iets of niets waard zijn bij het verstrijken van de looptijd; ze kunnen geen negatieve waarde voor een koper waard zijn, aangezien er geen netto kasuitstroom is na aankoop. Een verkoper van gewone vanille-opties bevindt zich aan de andere kant van de handel en kan slechts zoveel verliezen als de koper wint. Het is een nulsomspel wanneer dit de enige transactie is.
Een call op een aandeel geeft een recht, maar geen verplichting om de onderliggende waarde te kopen tegen de uitoefenprijs. Als de spotprijs hoger is dan de uitoefenprijs, zal de houder van een call deze uitoefenen op de vervaldag. De uitbetaling (geen winst) op de eindvervaldag kan worden gemodelleerd met behulp van de volgende formule en in een grafiek worden uitgezet.
Excel-formule voor een Call:= MAX (0, Share Price - Strike Price)
Op dezelfde manier kan een put die het recht geeft om tegen uitoefenprijs te verkopen, worden gemodelleerd zoals hieronder.
Excel-formule voor een Put:= MAX(0, Strike Price - Share Price)
Op basis van de uitoefenprijs en de aandelenkoers op elk moment, kan de prijs van de opties in, at of out of the money zijn:
Out-of-the-money en at-the-money opties hebben geen intrinsieke waarde voor hen, maar kunnen een tijdswaarde hebben vóór de vervaldatum. Het onderscheid tussen geld is relevant, aangezien beurzen voor het verhandelen van opties regels hebben voor automatische uitoefening bij expiratie op basis van het feit of een optie in-the-money is of niet. Bijvoorbeeld:de regels van de CBOE zijn:
De Options Clearing Corporation heeft voorzieningen voor de automatische uitoefening van bepaalde in-the-money opties bij expiratie, een procedure die ook wel uitoefening bij uitzondering wordt genoemd. Over het algemeen zal OCC automatisch elke aflopende equity call uitoefenen of op een klantenrekening plaatsen die $ 0,01 of meer in-the-money is, en een indexoptie die $ 0,01 of meer in-the-money is. De drempel van een specifieke beursvennootschap voor een dergelijke automatische uitoefening kan echter wel of niet dezelfde zijn als die van OCC.
De prijs van de optie hangt dus af van het feit of de spotprijs bij expiratie boven of onder de uitoefenprijs ligt. Intuïtief zal de waarde van een optie vóór de vervaldatum gebaseerd zijn op een maatstaf van de waarschijnlijkheid dat deze in-the-money is met de cashflow verdisconteerd tegen een geschikte rentevoet.
Hoewel opties al in gebruik zijn sinds de historische periode van de Griekse, Romeinse en Fenicische beschavingen, kwam Fisher Black oorspronkelijk met dit optieprijsmodel in 1973, dat nu veel wordt gebruikt, en het koppelt aan de afleiding van de warmteoverdrachtsformule in de natuurkunde. De wijzigingen aan het model door Scholes en Merton evolueerden het naar het Black-Scholes-Merton-model. De formule ziet er als volgt uit:
Laten we niet overweldigd raken door deze uitgebreide formules en eerst begrijpen wat het model eigenlijk laat zien. Voor oproepen hangt hun waarde vóór de vervaldatum af van de contante prijs van de onderliggende aandelen en de verdisconteerde waarde, vervolgens de uitoefenprijs en de verdisconteerde waarde en ten slotte een zekere mate van waarschijnlijkheid. De componenten hiervan zijn als volgt onderverdeeld:
De rest van de berekening gaat over het verdisconteren van de uitgaande kasstroom tegen een continu samengestelde disconteringsvoet, correctie voor eventuele dividenden of kasstromen vóór de vervaldatum en, voor waarschijnlijkheid, met behulp van een normale uitkering.
Het BSM-model gaat uit van een normale verdeling (belcurveverdeling of Gauss-verdeling) van continu samengestelde rendementen. Het model houdt ook in dat naarmate de verhouding tussen de huidige aandelenkoers en de uitoefenprijs toeneemt, de kans op uitoefening van de calloptie toeneemt, waardoor N(d)-factoren dichter bij 1 komen, wat impliceert dat de onzekerheid om de optie niet uit te oefenen afneemt. Naarmate de N(d)-factoren dichter bij 1 komen, komt het resultaat van de formule dichter bij de waarde van de intrinsieke waarde van de calloptie. De andere implicatie is dat wanneer variantie (σ) toeneemt, N(d) factoren divergeren en de calloptie waardevoller maken.
N(D2) is de kans dat de aandelenkoers op de eindvervaldag boven de uitoefenprijs ligt. N(D1) is de term voor het berekenen van de verwachte waarde van de instroom van contanten/aandelen op de eindvervaldag, alleen als de aandelenkoers boven de uitoefenprijs ligt. N(D1) is een voorwaardelijke kans.
Een winst voor de koper van het gesprek ontstaat door twee factoren die optreden op de vervaldag:
Stel je voor, een call tegen een uitoefenprijs van $ 100. Als de spotprijs van het aandeel $ 101 of $ 150 is, is aan de eerste voorwaarde voldaan. De tweede voorwaarde gaat over de vraag of de winst $ 1 of $ 50 is. De term D1 combineert deze twee tot een voorwaardelijke kans dat als de spot op de vervaldag hoger is dan de strike, wat de verwachte waarde zal zijn in verhouding tot de huidige spotprijs.
Het volgende model gebruik ik in Excel voor BSM-berekeningen (de gearceerde cellen zijn berekeningen die aan andere cellen zijn gekoppeld):
De formule hiervoor is als volgt:
Cel B2 =WaarderingsdatumCel B3 =Voorraad/spotprijsCel B4 =UitoefenprijsCel B5 =Impliciete volatiliteitCel B6 =Risicovrije rente op jaarbasis Cel B7 =Tijd tot expiratie in jaren (Berekend als (B10-B2)/365) Cel B8 =Dividendrendement ( Berekend als B11/B3) Cel B9 =Aantal opties (stel dit in op 1, voor het berekenen van de waarde die niet op een contract is gebaseerd) Cel B10 =Vervaldatum Cel B11 =Jaarlijks dividend in valuta's Cel B13 =D1 =(LN((B3 \EXP(-B8\B7))/B4)+((B6+((B5)^2)/2)\B7)) / ((B5)\SQRT(B7))Cel B14 =D2 =B13-B5SQRT( B7)Cel B15 =N(D1) =NORM.VERD(B13)Cel B16 =N(D2) =NORM.VERD(B14)Cel B17 =Oproep =(B3\EXP(-B8\B7))\B15-B4\EXP(- B6\B7)\B16Cel B18 =Put =(B17-(B3\EXP(-B8\B7))+B4\EXP(-B6\B7)
Met een call kan de koper genieten van het voordeel van een aandeel zonder het echt een periode vast te houden tot de vervaldatum. Intuïtief, als het opwaartse deel wordt uitbetaald tijdens de periode van bezit, zouden de oproepen minder waardevol moeten zijn, aangezien het recht op dat opwaartse deel niet wordt verkregen door de optiehouder. Bij puts geldt natuurlijk het omgekeerde. Deze intuïtie is te zien in de volgende grafieken voor een dividendbetalend aandeel met 0%, 2% en 5% dividend. Het model gaat ervan uit dat dividenden ook worden uitbetaald tegen een continu samengesteld tarief.
Nu speciale dividenden worden besproken vanwege wijzigingen in de Amerikaanse belastingwetgeving, is het vermeldenswaard dat u een aanpassingsfactor zult zien voor verhandelde opties voor eenmalige dividenden boven een bepaald percentage van de aandelenkoers. Eenmalige speciale dividenden hebben een grote impact op de prijsstelling van opties. In 2004, toen MSFT een extra eenmalig speciaal dividend van $ 3 per aandeel aankondigde tegen de normale $ 0,08 per kwartaal, werden de opties aangepast.
Options Industry Council (OIC) heeft een gratis rekenmachine die de verhandelde optiewaarden en de Grieken weergeeft. Ik heb de waarden voor AAPL vanaf 1 oktober 2018 geanalyseerd op de website van de Options Industry Council.
De volgende grafiek is voor AAPL-puts die vervallen op 12 oktober 2018 op 01 oktober 2018, waarbij de verticale lijn de laatste prijs aangeeft.
Het volgende is voor AAPL-oproepen die op 12 oktober 2018 op 1 oktober 2018 aflopen.
De laatst verhandelde prijs van calls en puts is duidelijk gecorreleerd met de uitoefenprijs en vormt deze hockeystick-achtige grafiek. De reden dat de stippen niet op een lijn zijn uitgelijnd, is omdat sommige opties op 1 oktober niet zijn verhandeld en de laatst verhandelde prijs van deze opties ouder is, vooral voor deep-in-the-money-opties.
Wat gebeurt er als de spotprijs voor AAPL verandert? De prijs van AAPL verandert met nanoseconden op de beurs. Intuïtief, en op basis van het BSM-model, zou ook de optieprijs moeten veranderen. Dit wordt gemeten door Delta, wat de benadering is van hoe de waarde van een optie verandert bij een verandering in de spotprijs. Het is een geschatte waarde van hoeveel de optiewaarde beweegt voor een verandering in $1 van de onderliggende waarde.
Delta wordt gebruikt als afdekkingsratio. Als u een onderliggende positie wilt afdekken met een optie met een delta van 0,5, dan heeft u twee opties (2 x 0,5) nodig om de positie volledig af te dekken (en delta-neutraal te maken). Delta is echter een benadering. Het werkt goed voor een kleine prijsbeweging en voor korte tijd. We zien de relatie tussen de call en veranderingen in de aandelenkoers hieronder, evenals de verandering in delta over hetzelfde bereik van aandelenkoersen. De belprijzen bewegen niet soepel als een lijn en bijgevolg beweegt de berekende delta als een curve. Dit wordt meer merkbaar dichter bij de uitoefenprijs.
De verandering in delta voor een verandering is $1 waarde van de onderliggende waarde wordt Gamma genoemd. Gamma is altijd een positieve waarde en Delta is positief voor een call en negatief voor een put (voor de koper). Het betekent ook dat voor een gesprek de hoogste procentuele verandering plaatsvindt wanneer het van out-of-the-money naar in-the-money verandert, of omgekeerd. Gamma of de mate van verandering in delta nadert nul naarmate de uitoefenprijs weg beweegt van de spotprijs (voor diepe out-of-the-money of in-the-money optieposities).
De prijs van een optie hangt af van hoe lang het moet lopen tot de vervaldatum. Intuïtief, hoe langer de tijd tot de vervaldatum, hoe groter de kans dat het in-the-money terechtkomt. Vandaar dat opties met een langere looptijd doorgaans hogere waarden hebben, ongeacht of het puts of calls zijn. De tijdwaarde vervalt vervolgens naar 0 als het bijna verlopen is.
De vervalsnelheid is geen rechte lijn. Het is gemakkelijker om het te zien als de analogie van een bal die van een helling rolt. De snelheid neemt toe naarmate de bal verder de helling af rolt - het langzaamst is bovenaan en het snelst onderaan (bij afloop). De mate van verval wordt weergegeven door Theta en is positief voor calls en puts.
Rentetarieven hebben invloed op de optiewaarde door het gebruik als disconteringsvoet. Intuïtief impliceren calls het voordeel van het houden van de onderliggende aandelen zonder de volledige prijs uit te delen. Omdat een call-koper niet de volledige prijs van de aandelen hoeft te kopen, zou het verschil tussen de volledige aandelenprijs en de call-optie theoretisch kunnen worden belegd en daarom zou de call-optie een hogere waarde moeten hebben voor hogere disconteringsvoeten. De gevoeligheid voor rentetarieven wordt gemeten door Rho, waarbij hogere rentetarieven de waarde van oproepen verhogen en vice versa voor puts.
Vega, hoewel niet echt in het Griekse alfabet, wordt gebruikt om de gevoeligheid van optiewaarde voor volatiliteit aan te duiden. Volatiliteit verwijst naar de mogelijke omvang van prijsbewegingen omhoog of omlaag. Hoe hoger de volatiliteit van een spotprijs, hoe groter de kans dat de prijs de strike bereikt. Dus hoe hoger de volatiliteit, hoe hoger de prijs van opties.
Volatiliteit wordt meestal teruggevuld met behulp van impliciete volatiliteit (I”). De impliciete volatiliteit wordt berekend met het BSM-model, met behulp van de verhandelde prijzen van opties. IV is op zichzelf een verhandelde activaklasse geworden via VIX-opties.
Als u een optie koopt in een zeer rustige markt en er is een plotselinge stijging en daling in de prijs van de onderliggende waarde, waarbij de prijs weer eindigt waar hij was, ziet u mogelijk dat de prijs van de optie in waarde is gestegen. Dit komt uit een herziening van de IV-schatting.
Om het effect van Vega, en inderdaad de andere Grieken, op de prijzen van opties samen te vatten, verwijzen wij u naar de volgende tabel.
Stel je voor dat je een portefeuille hebt, met de creatieve naam "A", die alleen een Europese call op AAPL heeft bij strike $ 250 die afloopt op 21 december 2018, en één aandeel van de onderliggende APPL-aandelen:
Vervolgens creëert u een andere portefeuille, "B", die alleen een Europese call op AAPL heeft bij strike $ 250 die afloopt op 21 december 2018, en een T-bill van de Amerikaanse overheid die op dezelfde dag vervalt voor een vervalwaarde van $ 250.
Zoals u kunt zien, hebben zowel portefeuille A als portefeuille B dezelfde uitbetaling bij het verstrijken van de looptijd. Dit principe wordt put-call-pariteit genoemd. Een andere manier om het te zeggen is:
Call Premium + Cash =Put Premium + Onderliggend
of
$$C + \frac{X}{\left ( 1 + r \right )^t} =S_0 + P$$
Deze vergelijking kan worden herschikt om andere posities na te bootsen:
Dit werkt alleen met vervaldatums, calls en puts in Europese stijl tegen dezelfde uitoefenprijs.
De werknemersaandelenopties voor niet-verhandelde bedrijven verschillen op een aantal manieren van op de beurs verhandelde opties:
Naast deze, zoals we weten, is waardering ook een heel ander balspel voor particuliere bedrijven. Zoals we hebben besproken, zijn delta (aandelenkoers), theta (tijdswaarde), rho (rentevoet) en vega (volatiliteit) belangrijke determinanten van de waardering van opties. Deze maken de waardering van aandelenopties voor werknemers uitdagender, aangezien Delta, Gamma en Volatiliteit bijzonder moeilijk te bepalen zijn, aangezien de aandelen zelf misschien niet worden verhandeld.
Voor een werknemer die aandelenopties bezit, zijn de belangrijkste factoren om in gedachten te houden dat:
Opties zijn niet zo ingewikkeld als je hun componenten begrijpt. Zie ze als flexibelere bouwstenen waarmee u op een minder kapitaalintensieve manier financiële portefeuilles kunt samenstellen en beheren. Het begrijpen van de implicaties van de Grieken is de eerste stap om hun gedrag te begrijpen.
Als een korte woordenlijst zijn hieronder enkele belangrijke termen die in het artikel worden genoemd, op een beknopte manier samengevat:
Openbaarmaking:de standpunten in het artikel zijn puur die van de auteur. De auteur heeft geen directe of indirecte vergoeding ontvangen en zal ook niet ontvangen in ruil voor het uiten van specifieke aanbevelingen of standpunten in dit rapport. Onderzoek mag niet worden gebruikt of erop worden vertrouwd als beleggingsadvies.